Chênh lệch - đây là những gì? Làm thế nào để tìm thấy sự khác biệt của hàm?

Cùng với các dẫn xuất chức năng của chúng chênh lệch - nó một số khái niệm cơ bản của giải tích vi phân, phần chính của phân tích toán học. Như gắn bó chặt chẽ, cả trong số họ nhiều thế kỷ sử dụng rộng rãi trong việc giải quyết hầu hết các vấn đề nảy sinh trong quá trình hoạt động khoa học và kỹ thuật.

Sự xuất hiện của khái niệm khác biệt

Đây là lần đầu tiên đã làm cho nó rõ ràng rằng đó là một khác biệt, một trong những người sáng lập (cùng với Isaakom Nyutonom) khác biệt tính toán toán học nổi tiếng người Đức Gotfrid Vilgelm Leybnits. Trước đó các nhà toán học thế kỷ 17. sử dụng ý tưởng rất rõ ràng và mơ hồ của một số "trọn vẹn" vô cùng nhỏ của bất kỳ chức năng nổi tiếng, đại diện cho một giá trị không đổi rất nhỏ nhưng không phải bằng số không, bên dưới các giá trị chức năng không thể đơn giản. Do đó nó chỉ là một bước để sự ra đời của khái niệm về gia số vô cùng nhỏ của các đối số chức năng và gia tăng tương ứng của họ về các chức năng có thể được biểu diễn dưới dạng các dẫn xuất của sau này. Và bước này được chụp gần như đồng thời hai nhà khoa học vĩ đại ở trên.

Dựa trên sự cần thiết phải giải quyết cơ cấp bách vấn đề thực tế rằng đối đầu với khoa học nhanh chóng phát triển ngành công nghiệp và công nghệ, Newton và Leibniz tạo những cách phổ biến của việc tìm kiếm các chức năng của tốc độ thay đổi, dẫn đến sự ra đời của khái niệm như vậy (đặc biệt là liên quan đến tốc độ cơ học của cơ thể của quỹ đạo nổi tiếng với), như chức năng phái sinh và sự khác biệt, và cũng có thể thấy vấn đề giải pháp thuật toán nghịch đảo như được biết đến cho mỗi gia nhập (variable) tốc độ quay ngang để tìm ra con đường đó đã dẫn đến khái niệm về không thể thiếu Ala.

Trong các tác phẩm của Leibniz và Newton ý tưởng đầu tiên nó xuất hiện rằng chênh lệch - là tỷ lệ thuận với tăng trong những lập luận cơ bản Δh increments chức năng Δu có thể được áp dụng thành công để tính giá trị của cái sau. Nói cách khác, họ đã phát hiện ra rằng một chức năng tăng có thể ở bất kỳ điểm nào (trong phạm vi của nó định nghĩa) được thể hiện qua của nó bắt nguồn từ cả hai Δu = y '(x) Δh + αΔh nơi α Δh - phần còn lại, có xu hướng không như Δh → 0, nhanh hơn nhiều so với Δh thực tế.

Theo những người sáng lập của phân tích toán học, sự chênh lệch - đây chính là nhiệm kỳ đầu tiên trong từng bước của bất kỳ chức năng. Ngay cả khi không có một trình tự giới hạn khái niệm xác định rõ ràng được hiểu bằng trực giác rằng giá trị khác biệt của đạo hàm có xu hướng hoạt động khi Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Không giống như Newton, người chủ yếu là một nhà vật lý và bộ máy toán học coi như một công cụ phụ trợ cho việc nghiên cứu các vấn đề về thể chất, Leibniz chú trọng hơn đến công cụ này, bao gồm một hệ thống các biểu tượng trực quan và dễ hiểu giá trị toán học. Ông là người đã đề xuất các ký hiệu tiêu chuẩn của sự khác biệt về chức năng dy = y '(x) dx, dx, và đạo hàm của hàm lập luận như mối quan hệ của họ y' (x) = dy / dx.

Định nghĩa hiện đại

sự khác biệt về mặt toán học hiện đại là gì? Nó có liên quan chặt chẽ đến khái niệm về một increment biến. Nếu biến y có một giá trị đầu tiên của y y = _1, sau đó y = y _2, sự khác biệt y ₂ ─ y ₁ được gọi là giá trị thặng dư y. Thặng dư có thể là tích cực. tiêu cực và zero. Từ "tăng" được chỉ định Δ, Δu ghi (đọc 'đồng bằng y') biểu thị giá trị của thặng dư y. nên Δu = y ₂ ─ y _1.

Nếu giá trị Δu chức năng tùy ý y = f (x) có thể được biểu diễn dưới dạng Δu = A Δh + α, trong đó A là không phụ thuộc vào Δh, t. E. A = const cho x cho trước, và α hạn khi Δh → 0 có xu hướng nó thậm chí còn nhanh hơn so với Δh thực tế, sau đó là người đầu tiên ( "bậc thầy") một thuật ngữ tương ứng Δh, và cho y = f (x) khác biệt, ký hiệu dy hoặc df (x) (đọc "y de", "de eff từ X"). Do đó những khác biệt - một "chính" tuyến tính đối với các thành phần của gia số chức năng Δh với.

giải thích cơ khí

Hãy s = f (t) - khoảng cách trong một đường thẳng di chuyển điểm vật chất từ vị trí ban đầu (t - thời gian đi lại). Tăng Δs - là điểm cách trong một khoảng thời gian Δt, và ds khác biệt = f '(t) Δt - con đường này, thời điểm đó sẽ được tổ chức cho thời Δt, nếu nó giữ lại các f tốc độ' (t), đạt được tại thời điểm t . Khi một Δt ds con đường tưởng tượng vô cùng khác với thực tế Δs infinitesimally có một bậc cao đối với Δt với. Nếu tốc độ tại thời điểm t là không bằng zero, ds giá trị gần đúng cho điểm thiên vị nhỏ.

giải thích hình học

Hãy để cho dòng L là đồ thị của y = f (x). Sau đó Δ x = MQ, Δu = QM '(xem. Hình dưới đây). Tangent MN phá vỡ Δu cắt thành hai phần, QN và NM. Đầu tiên và Δh là tỷ lệ thuận với QN = MQ ∙ tg (góc QMN) = Δh f '(x), t. E QN là khác biệt dy.

Phần thứ hai của sự khác biệt Δu NM'daet ─ dy, khi Δh → 0 NM dài 'giảm thậm chí nhanh hơn so với tăng của đối số, tức là nó có thứ tự nhỏ bé cao hơn Δh. Trong trường hợp này, nếu f '(x) ≠ 0 (tiếp tuyến không song song OX) phân đoạn QM'i QN tương đương; nói cách khác NM 'giảm nhanh chóng (theo thứ tự nhỏ bé của nó cao hơn) so với tổng số gia Δu = QM'. Đây là điều hiển nhiên trong hình (tiếp cận phân khúc M'k M NM'sostavlyaet tất cả nhỏ hơn tỷ lệ QM 'phân khúc).

Vì vậy, đồ họa phân chức năng tùy ý bằng thặng dư của phối của tiếp tuyến.

Phái sinh và khác biệt

Một yếu tố trong nhiệm kỳ đầu tiên của chức năng tăng biểu hiện bằng giá trị của f phái sinh của nó '(x). Như vậy, sau mối quan hệ - dy = f '(x) Δh hoặc df (x) = f' (x) Δh.

Được biết, thặng dư của các đối số độc lập là tương đương khác biệt của nó Δh = dx. Theo đó, chúng ta có thể viết: f '(x) dx = dy.

Tìm (đôi khi cho là "quyết định") chênh lệch được thực hiện bởi các quy tắc tương tự như đối với các dẫn xuất. Một danh sách của họ được đưa ra dưới đây.

Thế nào là phổ quát hơn: thặng dư của các đối số hoặc khác biệt của nó

Ở đây nó là cần thiết để thực hiện một số giải thích. Đại diện giá trị f '(x) khác biệt Δh thể khi xem xét x như một cuộc tranh cãi. Tuy nhiên, chức năng có thể là một phức tạp, trong đó x có thể là một chức năng của các đối số t. Sau đó, các đại diện của các biểu hiện khác nhau của f '(x) Δh, như một quy luật, nó là không thể; ngoại trừ trong trường hợp sự phụ thuộc tuyến tính x = tại + b.

Như công thức f '(x) dx = dy, sau đó trong trường hợp độc lập tham số x (sau đó dx = Δh) trong trường hợp sự phụ thuộc tham số của x t, đó là khác biệt.

Ví dụ, khái niệm 2 x Δh là dành cho y = x ² khác biệt của nó khi x là một cuộc tranh cãi. tại x = t ² và chúng tôi giả định t tranh cãi. Sau đó, y = x ² = t ^4.

Tiếp theo là (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Do đó Δh = 2tΔt + Δt ^2. Do đó: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Biểu thức này là không tỷ lệ thuận với Δt, và do đó hiện nay 2xΔh không sai là. Nó có thể được tìm thấy từ phương trình y = x ² = t ^4. Nó là bằng dy = 4t ³ Δt.

Nếu chúng ta lấy 2xdx biểu hiện, đó là sự khác biệt y = x ² cho bất kỳ đối số t. Thật vậy, khi x = t ² lấy dx = 2tΔt.

Vì vậy, 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. Các chênh lệch biểu ghi bởi hai biến khác nhau trùng.

Thay gia số chênh lệch

Nếu f '(x) ≠ 0, sau đó Δu và dy tương đương (khi Δh → 0); nếu f '(x) = 0 (ý nghĩa và dy = 0), họ không tương đương.

Ví dụ, nếu y = x ^2, sau đó Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² và dy = 2xΔh. Nếu x = 3, sau đó chúng tôi có Δu = 6Δh + Δh ² và dy = 6Δh đó là tương đương do Δh ² → 0, khi x = 0 giá trị Δu = Δh ² và dy = 0 không phải là tương đương.

Thực tế này, cùng với cấu trúc đơn giản của sự khác biệt (m. E. Độ tuyến tính đối với Δh với), thường được sử dụng trong tính toán gần đúng, trên giả định rằng Δu ≈ dy cho Δh nhỏ. Tìm chức năng khác biệt thường là dễ dàng hơn để tính toán chính xác giá trị của thặng dư.

Ví dụ, chúng tôi có kim loại khối với cạnh x = 10,00 cm. On nóng mép kéo dài trên Δh = 0,001 cm. Làm thế nào tăng khối lượng khối V? Chúng tôi có V = x ^2, do đó dV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ 0 10 ^1/2 = 3 (cm ^3). Tăng ΔV khác biệt tương đương dV, do đó ΔV = 3 cm ^3. Full tính sẽ cung cấp cho ³ ΔV = 10,01 ─ March ¹⁰ = 3,003001. Nhưng kết quả của tất cả các chữ số trừ không đáng tin cậy đầu tiên; do đó, nó vẫn còn cần thiết để làm tròn lên đến 3 cm ^3.

Rõ ràng, cách tiếp cận này chỉ có ích nếu chúng ta có thể ước tính giá trị truyền đạt với lỗi.

chức năng khác biệt: ví dụ

Hãy cố gắng tìm sự khác biệt của hàm y = x ^3, tìm đạo hàm. Hãy để chúng tôi cung cấp cho các increment luận Δu và xác định.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Tại đây, các hệ số A = 3x ² không phụ thuộc vào Δh, do đó nhiệm kỳ đầu tiên là tỷ lệ Δh, các thành viên khác 3xΔh Δh ² + ³ khi Δh → 0 giảm nhanh hơn so với thặng dư của các đối số. Do đó, một thành viên của 3x ² Δh là sự khác biệt của y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx hoặc d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Trong đó d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Bây giờ chúng ta tìm ra hàm y = 1 / x bởi đạo hàm. Sau đó d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Do đó dy = ─ Δh / x ^2.

Sự khác biệt theo chức năng đại số cơ bản được đưa ra dưới đây.

tính toán gần đúng sử dụng khác biệt

Để đánh giá hàm f (x), và phái sinh của nó f '(x) tại x = a thường là khó khăn, nhưng để làm điều tương tự trong khu vực lân cận của x = a là không dễ dàng. Sau đó, đến với sự trợ giúp của biểu thức gần đúng

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Điều này cho phép một giá trị xấp xỉ của hàm tại gia số nhỏ thông qua khác biệt Δh f 'của nó (a) Δh.

Do đó, công thức này cho một biểu thức gần đúng cho hàm tại điểm cuối của một phần của một chiều dài Δh như một khoản giá trị của nó ở điểm khởi đầu của phần (x = a) và sự khác biệt ở điểm khởi đầu tương tự. Độ chính xác của phương pháp để xác định các giá trị của hàm dưới đây minh họa các bản vẽ.

Tuy nhiên được biết đến và biểu thức chính xác cho các giá trị của hàm x = a + Δh cho bởi công thức gia hạn (hoặc, cách khác, công thức Lagrange)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

nơi điểm x = a + ξ là trong khoảng từ x = a để x = a + Δh, mặc dù vị trí chính xác của nó là không rõ. Công thức chính xác cho phép để đánh giá lỗi của công thức gần đúng. Nếu chúng ta đặt trong Lagrange công thức ξ = Δh / 2, mặc dù nó không còn là chính xác, nhưng cho phép, như một quy luật, một cách tiếp cận tốt hơn nhiều so với các biểu hiện ban đầu về sự khác biệt.

công thức đánh giá lỗi bằng cách áp dụng khác biệt

Thiết bị đo lường , về nguyên tắc, không chính xác, và mang đến cho các dữ liệu đo lường tương ứng với lỗi. Chúng được đặc trưng bằng cách hạn chế sai số tuyệt đối, hoặc, trong ngắn hạn, lỗi giới hạn - tích cực, vượt rõ lỗi về giá trị tuyệt đối (hoặc ít nhất tương đương với nó). Hạn chế sai số tương đối được gọi là thương thu được bằng cách chia nó bằng giá trị tuyệt đối của giá trị đo.

Hãy để chính xác công thức y = f (x) chức năng sử dụng để vychislyaeniya y, nhưng giá trị của x là kết quả đo lường, và do đó mang lại những lỗi y. Sau đó, để tìm ra giới hạn sai số tuyệt đối │Δu│funktsii y, sử dụng công thức

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

nơi │Δh│yavlyaetsya lỗi biên đối số. │Δu│ lượng phải được làm tròn lên, như tính toán không chính xác bản thân là sự thay thế của thặng dư trên tính khác biệt.