Calculus khác biệt của các chức năng của một và nhiều biến

giải tích vi phân là một chi nhánh của phân tích toán học, nghiên cứu về các phái sinh, chênh lệch và việc sử dụng chúng trong việc nghiên cứu các chức năng.

Câu chuyện về

calculus khác biệt nổi lên như một kỷ luật độc lập trong nửa sau của thế kỷ 17, nhờ công trình của Newton và Leibniz, người xây dựng các quy định cơ bản trong tính toán của chênh lệch và nhận thấy mối liên hệ giữa hội nhập và sự khác biệt. Kể từ khi kỷ luật ông đã phát triển cùng với việc tính tích phân, do đó cấu thành cơ sở các phân tích toán học. Sự xuất hiện của những sỏi mở ra một giai đoạn mới hiện đại trong thế giới toán học và gây ra sự xuất hiện của các nguyên tắc mới trong khoa học. Cũng mở rộng khả năng áp dụng toán học trong các ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật.

khái niệm cơ bản

calculus khác biệt dựa trên các khái niệm cơ bản của toán học. Đó là: một số thực, tính liên tục và hạn chế chức năng. Sau một thời gian, họ đã thực hiện một cái nhìn hiện đại, nhờ vào tích phân và vi phân.

Quá trình tạo

Hình thành các phép tính khác biệt trong hình thức của một ứng dụng, và sau đó là phương pháp khoa học xảy ra trước sự xuất hiện của lý thuyết triết học, được tạo ra bởi Nikolay Kuzansky. Tác phẩm của ông được coi là một sự phát triển tiến hóa từ các khoa học cổ xưa của sự phán xét. Mặc dù thực tế rằng triết gia mình không phải là một nhà toán học, những đóng góp cho sự phát triển của khoa học toán học là không thể phủ nhận. Cusa, một trong những hiện đầu tiên của việc xem xét số học là khoa học chính xác nhất, toán đặt thời gian vào câu hỏi.

Trong toán học cổ đại tiêu chuẩn phổ quát là một đơn vị, trong khi nhà triết học đề xuất như một biện pháp vô cùng mới trả lại con số chính xác. Trong mối liên hệ với đại diện ngược này chính xác trong khoa học toán học. kiến thức khoa học, theo quan điểm của mình, được chia thành hợp lý và thông minh. Thứ hai là chính xác hơn, theo các nhà khoa học, kể từ khi cựu chỉ cung cấp cho kết quả gần đúng.

tư tưởng

Ý tưởng cơ bản và các khái niệm về tính toán khác biệt liên quan đến các chức năng trong một khu phố nhỏ của điểm nhất định. Đối với điều này nó là cần thiết để tạo ra một bộ máy toán học để nghiên cứu hoạt động mà hành vi trong một khu phố nhỏ của điểm lắp đặt gần đến hành vi của một hàm tuyến tính hoặc một đa thức. Dựa trên định nghĩa này của đạo hàm và vi phân.

Sự xuất hiện của các khái niệm về đạo hàm được gây ra bởi một số lượng lớn các vấn đề về khoa học tự nhiên và toán học, dẫn đến việc xác định giá trị giới hạn cùng loại.

Một trong những nhiệm vụ chủ yếu được đưa ra làm ví dụ, bắt đầu với các lớp học lâu đời nhất, là để xác định tốc độ chuyển động của một điểm trên một đường thẳng và việc xây dựng các đường tiếp tuyến với đường cong này. Sự khác biệt liên quan đến điều này, vì nó có thể xấp xỉ hàm trong một khu phố nhỏ của các điểm của một hàm tuyến tính.

So với các khái niệm về hàm của một hàm của một biến thực, định nghĩa về sự khác biệt về chỉ đơn giản là đi vào chức năng của thiên nhiên nói chung, đặc biệt là hình ảnh của một không gian Euclide khác.

phái sinh

Hãy di chuyển điểm theo hướng trục y, trong thời gian này chúng ta lấy x, được đo từ đầu trong chốc lát. Mô tả một phong trào như vậy là có thể bởi hàm y = f (x), trong đó có liên quan đến mỗi thời điểm tọa độ x điểm displaceable. cuộc gọi chức năng này trong cơ lấy pháp luật về chuyển động. Đặc điểm chính của chuyển động, đặc biệt là không đồng đều, là vận tốc tức thời. Khi điểm được di chuyển dọc theo trục y theo pháp luật của cơ học, các thời điểm ngẫu nhiên nó mua lại phối hợp x f (x). Trong thời gian điểm x + Δh, nơi Δh đại diện cho tăng thời gian, nó sẽ kordinaty f (x + Δh). công thức do đó hình thành Δy = f (x + Δh) - f (x), được gọi là một chức năng tăng. Đó là một điểm của con đường đi qua trong thời gian từ x đến x + Δh.

Liên quan đến sự xuất hiện của vận tốc vào thời điểm phát sinh được quản lý. Đạo hàm của hàm bất kỳ tại một điểm cố định gọi là giới hạn (giả sử nó tồn tại). Nó có thể được giới thiệu tới một số nhân vật:

f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Quá trình tính toán đạo hàm của sự khác biệt gọi.

giải tích vi phân hàm nhiều biến

Phương pháp này được áp dụng khi tính toán nghiên cứu chức năng, một số biến. Khi có hai biến x và y, các đạo hàm riêng liên quan đến x tại điểm A với được gọi là đạo hàm của hàm này trong x với một y cố định.

Có thể được chỉ định bởi các ký hiệu sau:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x và ∂f (x, y) '/ ∂x.

kỹ năng cần thiết

Để tìm hiểu thành công và có thể giải quyết diffury kỹ năng cần thiết trong hội nhập và sự khác biệt. Để làm cho nó dễ dàng hơn để hiểu được phương trình vi phân, phải được hiểu bắt nguồn từ chủ đề và không xác định không thể thiếu. Cũng không làm tổn thương để học cách tìm kiếm đạo hàm của hàm ẩn. Điều này là do thực tế là trong quá trình học tập thường sẽ sử dụng tích phân và sự khác biệt.

Các loại phương trình vi phân

Hầu như tất cả các công tác kiểm soát kết hợp với các phương trình vi phân bậc nhất, có 3 loại phương trình: đồng nhất, với các biến tách, tuyến tính không đồng nhất.

Ngoài ra còn có loài phương trình hiếm hơn với tổng chênh lệch, phương trình Bernoulli, và những người khác.

giải pháp cơ bản

Để bắt đầu, chúng ta nên nhớ là phương trình đại số của một khoá học. Chúng chứa các biến và số. Để giải quyết các phương trình thông thường nên tìm thấy nhiều con số mà đáp ứng một điều kiện nhất định. Thông thường, những phương trình có một gốc, và để xác nhận chỉ nên thay thế giá trị này vào đúng vị trí chưa biết.

Các phương trình vi phân là tương tự như sau. Nói chung, một phương trình của lệnh đầu tiên bao gồm:

• biến độc lập.
• Một đạo hàm của hàm đầu tiên.
• Chức năng hoặc biến phụ thuộc.

Trong một số trường hợp, có thể có không ai rõ, x hoặc y, nhưng nó không phải là quan trọng vì nó là cần thiết để có đạo hàm đầu tiên, không có dẫn xuất bậc cao với các giải pháp và các phép tính khác biệt là đúng.

Giải quyết các phương trình vi phân - nó có nghĩa là để tìm các thiết lập của tất cả các chức năng mà là thích hợp biểu hiện nhất định. bộ như các chức năng thường được gọi là kiểm soát giải pháp chung.

tích phân

tích phân là một trong những bộ phận của phân tích toán học, nghiên cứu về các khái niệm về không thể thiếu, tài sản và phương pháp tính toán của nó.

Thông thường việc tính tích phân xảy ra khi tính toán diện tích của một hình dạng cong. Bằng cách này, có nghĩa là một khu vực giới hạn, hướng tới đó một khu vực được xác định trước của hình đa giác ghi tăng dần trong tay, và phía dữ liệu có thể được thực hiện dưới bất kỳ giá trị nhỏ tùy ý quy định trước đây.

Ý tưởng chính trong việc tính toán diện tích của bất kỳ hình dạng hình học được tính toán diện tích của một hình chữ nhật, sau đó là bằng chứng cho thấy diện tích của nó là tương đương với sản phẩm của chiều dài bằng chiều rộng. Khi nói đến hình học, sau đó tất cả các công trình xây dựng được thực hiện bằng cách sử dụng compa và thước kẻ, và sau đó là tỷ lệ chiều dài với chiều rộng là một giá trị hợp lý. Khi tính toán diện tích của một tam giác vuông có thể xác định rằng nếu bạn đặt một tam giác bên cạnh, một hình chữ nhật được hình thành. Trong khu vực của hình bình hành được tính theo phương pháp tương tự nhưng hơi phức tạp hơn, trong một hình chữ nhật và hình tam giác. Trong khu vực của một đa giác được coi là bằng tam giác bao gồm trong nó.

Trong việc xác định lòng thương xót của tùy ý, phương pháp này không phù hợp với những đường cong. Nếu chúng ta phá vỡ nó thành các ô vuông riêng biệt, nó sẽ vẫn còn những nơi không hàn. Trong trường hợp này, hãy thử sử dụng hai lớp, với hình chữ nhật ở trên và dưới, như là kết quả của những bao gồm các đồ thị của hàm và không bao gồm. Quan trọng ở đây là một cách để phá vỡ những hình chữ nhật. Ngoài ra, nếu chúng ta lấy giờ nghỉ ngày càng giảm, diện tích trên và dưới nên hội tụ vào một giá trị nhất định.

Nó nên trở về một phương pháp tách thành hình chữ nhật. Có hai phương pháp phổ biến.

Riemann đã được chính thức hóa định nghĩa của tích phân, tạo ra bởi Leibniz và Newton, như diện tích của đồ thị con. Trong trường hợp này, chúng tôi coi là một con số bao gồm một số lượng nhất định của hình chữ nhật dọc thu được bằng cách chia khoảng. Khi vi phạm giảm có một giới hạn đó diện tích giảm của một nhân vật như vậy, giới hạn này được gọi là tích phân Riemann của một hàm tại một thời điểm cụ thể.

Một phương pháp thứ hai là xây dựng các Lebesgue không thể thiếu, bao gồm trong thực tế là ở nơi tách biệt khu vực quy định trên là một phần của tích phân và biên soạn sau đó tổng không thể thiếu của các giá trị thu được trong các bộ phận này, trong khoảng thời gian chia phạm vi của các giá trị, và sau đó tóm tắt bằng các biện pháp tương ứng hình ảnh nghịch đảo của các tích phân.

trợ hiện đại

Một trong những lợi ích chính cho việc nghiên cứu phân và tích phân Fikhtengol'ts viết - "của phân và tích phân." sách giáo khoa của mình là một công cụ cơ bản cho việc nghiên cứu phân tích toán học, mà chịu đựng nhiều phiên bản và bản dịch sang ngôn ngữ khác. Tạo cho sinh viên và trong một thời gian dài sử dụng trong một loạt các cơ sở giáo dục là một trong những lợi ích chính của nghiên cứu. Nó cung cấp thông tin lý thuyết và kỹ năng thực hành. Xuất bản lần đầu vào năm 1948.

chức năng nghiên cứu thuật toán

Để khám phá những phương pháp chức năng khác biệt tích, bạn cần phải làm theo đã được trao giải thuật:

1. Tìm các lĩnh vực chức năng.
2. Tìm rễ của phương trình cho trước.
3. Tính cực đoan. Để làm điều này, chúng tôi tính toán đạo hàm và điểm mà nó là bằng không.
4. Chúng tôi thay thế các giá trị thu được trong phương trình.

Tính đa dạng của phương trình vi phân

Kiểm soát của đơn hàng đầu tiên (nếu không, khác biệt tính toán của một biến) và các loại của họ:

• Với biến tách phương trình: f (y) dy = g (x) dx.
• Phương trình hoặc khác biệt chức năng tính toán đơn giản nhất của một biến, có công thức: y '= f (x).
• Các tuyến tính bậc nhất sự không đồng dạng kiểm soát: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli phương trình vi phân: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Phương trình tổng chênh lệch với: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Các phương trình vi phân của lệnh thứ hai và các loại của họ:

• Đồng nhất tuyến tính phương trình thứ hai khác biệt đơn đặt hàng với ^{hệ số} hằng ^{số: y n + py '+ qy} = 0 p, q thuộc R.
• Không đồng nhất tuyến tính bậc hai phương trình vi phân với ^{giá trị} hệ số hằng ^{số: y n + py '+ qy} = f (x).
• Đồng nhất tuyến tính ^{phương trình vi phân: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, và không đồng nhất ^{phương trình} bậc ^{hai: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

phương trình vi phân của đơn đặt hàng cao hơn và loại của họ:

• Các phương trình vi phân, cho phép giảm ^{theo thứ tự: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Một phương trình tuyến tính của bậc cao ^{_{đồng nhất: y (n) + f (}} n ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, và ^{_{không đồng nhất: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Các giai đoạn của việc giải quyết các vấn đề với các phương trình vi phân

Với sự giúp đỡ của điều khiển từ xa được giải quyết không chỉ toán học hoặc các vấn đề về thể chất, mà còn là vấn đề khác nhau của sinh học, kinh tế học, xã hội học và những người khác. Mặc dù nhiều chủ đề, nên theo một chuỗi luận lý đơn để giải quyết những vấn đề này:

1. Lập kiểm soát. Một trong những giai đoạn khó khăn nhất, đòi hỏi độ chính xác tối đa, bởi vì bất kỳ sai lầm sẽ dẫn đến kết quả hoàn toàn sai. Nó là cần thiết để đưa vào tài khoản tất cả các yếu tố ảnh hưởng đến quá trình và xác định điều kiện ban đầu. Cũng cần phải dựa trên sự kiện và kết luận logic.
2. Để giải phương trình. Quá trình này là dễ dàng hơn để điểm đầu tiên, vì nó chỉ đòi hỏi thực hiện nghiêm túc các phép tính toán học.
3. Phân tích và đánh giá kết quả. giải pháp có nguồn gốc nên được đánh giá cho việc cài đặt giá trị thực tiễn và lý thuyết của kết quả.

Một ví dụ về việc sử dụng các phương trình khác biệt trong y học

Sử dụng điều khiển từ xa trong lĩnh vực y học được tìm thấy trong việc xây dựng các mô hình toán học về dịch tễ học. Chúng ta không nên quên rằng các phương trình cũng được tìm thấy trong sinh học và hóa học, đó là gần với y học, vì nó đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu các quần thể sinh học khác nhau và các quá trình hóa học trong cơ thể con người.

Trong ví dụ này, lây lan dịch bệnh nhiễm trùng có thể được điều trị tại một cộng đồng bị cô lập. Những cư dân được chia thành ba loại:

• Nhiễm, số lượng x (t), trong đó bao gồm các cá nhân, các hãng truyền nhiễm, mỗi trong số đó là truyền nhiễm (thời gian ủ bệnh ngắn).
• Loại thứ hai bao gồm nhạy cảm cá nhân y (t), có thể bị nhiễm qua tiếp xúc với nhiễm.
• Loại thứ ba bao gồm các cá nhân chịu lửa z (t), đó là miễn dịch hoặc bị mất do bệnh tật.

Số cá nhân liên tục, giữ sinh, chết tự nhiên và di cư không được xem xét. Cốt lõi sẽ có hai giả thuyết.

Tỷ lệ mắc ở một thời điểm nhất định là tương đương với x (t) y (t) (dựa trên các giả định trên lý thuyết rằng số lượng các trường hợp tương ứng với số nút giao thông giữa bệnh nhân và các thành viên dễ bị, mà trong xấp xỉ đầu tiên là tỷ lệ thuận với x (t) y (t)), trong do đó số lượng các trường hợp đang gia tăng, và số lượng giảm nhạy cảm với tốc độ được tính theo công thức ax (t) y (t) (a> 0).

Số động vật không phản ứng mà chết hoặc mua miễn dịch, tăng với tốc độ đó là tỷ lệ thuận với số trường hợp, bx (t) (b> 0).

Kết quả là, bạn có thể thiết lập một hệ phương trình với tất cả các ba chỉ số trên cơ sở kết luận của mình.

sử dụng VÍ DỤ kinh tế

giải tích vi phân thường được sử dụng trong phân tích kinh tế. Nhiệm vụ chính trong phân tích kinh tế được coi là việc nghiên cứu các giá trị của nền kinh tế, trong đó được ghi lại trong các hình thức của hàm. Nó được sử dụng trong việc giải quyết các vấn đề như thay đổi về tăng thuế thu nhập ngay lập tức sau đó, lệ phí nhập cảnh, thay đổi trong doanh thu khi thay đổi giá trị của sản phẩm, trong những gì tỷ lệ có thể được thay thế bởi các nhân viên đã về hưu với thiết bị mới. Để giải quyết vấn đề như vậy, nó là cần thiết để xây dựng một chức năng thông tin liên lạc của các biến đến, trong đó, sau khi được nghiên cứu bởi tính toán khác biệt.

nó thường là cần thiết để tìm ra hiệu suất tối ưu nhất trong lĩnh vực kinh tế: năng suất tối đa, thu nhập cao nhất, chi phí thấp nhất và vân vân. Mỗi thành phần như là một chức năng của một hoặc nhiều đối số. Ví dụ, sản xuất có thể được coi là một chức năng của lao động và vốn. Trên tinh thần đó, việc tìm kiếm một giá trị thích hợp có thể được giảm xuống còn tìm tối đa hoặc tối thiểu là một chức năng của một hay nhiều biến.

vấn đề như vậy tạo ra một lớp của các vấn đề extremal trong lĩnh vực kinh tế, mà bạn cần phải tính toán khác biệt. Khi các chỉ số kinh tế là cần thiết để giảm thiểu hoặc tối đa hóa như một chức năng của các thông số khác, tỷ lệ tăng chức năng điểm tối đa cho các đối số sẽ có xu hướng không nếu thặng dư của các đối số có xu hướng không. Nếu không, khi một thái độ như vậy có xu hướng đến một giá trị tích cực hay tiêu cực nhất định, các điểm quy định không phù hợp, bởi vì bằng cách tăng hoặc giảm đối số có thể thay đổi giá trị phụ thuộc theo hướng mong muốn. Trong thuật ngữ phân tích, điều này có nghĩa rằng các điều kiện cần thiết cho chức năng tối đa là một giá trị không của đạo hàm của nó.

Nền kinh tế không phải là vấn đề phổ biến của việc tìm kiếm các cực trị của hàm nhiều biến, bởi vì chỉ số kinh tế được tạo thành từ nhiều yếu tố. vấn đề như vậy cũng được hiểu theo lý thuyết về chức năng của một số biến, phương pháp tính toán sự khác biệt. vấn đề như vậy bao gồm không chỉ tối đa hóa và chức năng giảm thiểu, mà còn hạn chế. Những câu hỏi liên quan đến lập trình toán học, và họ được giải quyết với sự giúp đỡ của các phương pháp phát triển đặc biệt cũng được dựa trên chi nhánh này của khoa học.

Trong số các phương pháp tính toán khác biệt được sử dụng trong nền kinh tế, một phần quan trọng là các thử nghiệm cuối cùng. Trong lĩnh vực kinh tế, thuật ngữ dùng để chỉ một tập hợp các phương pháp nghiên cứu thực hiện biến và kết quả khi bạn thay đổi âm lượng của sự sáng tạo, tiêu thụ, dựa trên phân tích các giá trị giới hạn của họ. Hạn chế chỉ coi phái sinh hoặc các đạo hàm riêng với nhiều biến.

giải tích vi phân của một số biến - một chủ đề quan trọng của phân tích toán học. Đối với một nghiên cứu chi tiết, bạn có thể sử dụng nhiều đồ dùng dạy học cho các cơ sở giáo dục đại học. Một trong những Fikhtengol'ts tạo nổi tiếng nhất - "của phân và tích phân." Bao nhiêu tên cho các giải pháp của phương trình vi phân có tầm quan trọng đáng kể để có những kỹ năng để làm việc với tích phân. Khi có một phép tính khác biệt của các chức năng của một biến, quyết định trở nên dễ dàng hơn. Mặc dù, cần lưu ý, nó sau các quy tắc cơ bản giống nhau. Trên thực tế, để điều tra các chức năng của giải tích vi phân, chỉ cần làm theo các thuật toán đã tồn tại, được đưa ra trong trường trung học, và chỉ có một chút phức tạp với sự ra đời của các biến mới.