Tuyến tính và phương trình vi phân đồng nhất của lệnh đầu tiên. ví dụ về các giải pháp

Tôi nghĩ chúng ta nên bắt đầu với lịch sử của công cụ toán học rực rỡ như phương trình vi phân. Giống như tất cả các phân và tích phân, phương trình này đã được phát minh bởi Newton vào cuối thế kỷ 17. Ông tin rằng đó là phát hiện của ông quan trọng đến nỗi ngay cả những thông điệp được mã hóa, mà ngày nay có thể được dịch như sau: "Tất cả những quy luật tự nhiên được mô tả bởi phương trình vi phân." Nó có thể có vẻ một cường điệu, nhưng đó là sự thật. Bất kỳ quy luật vật lý, hóa học, sinh học, có thể được mô tả bởi các phương trình.

Đóng góp to lớn vào sự phát triển và sáng tạo của các lý thuyết của phương trình vi phân có toán học của Euler và Lagrange. Đã có trong thế kỷ 18 họ đã phát hiện và phát triển những gì hiện đang theo học tại các trường đại học các khóa học cao cấp.

Một cột mốc mới trong việc nghiên cứu phương trình vi phân bắt đầu nhờ Anri Puankare. Ông đã tạo ra một "lý thuyết định tính phương trình vi phân", trong đó, kết hợp với lý thuyết về chức năng của các biến phức tạp đã góp phần đáng kể vào nền tảng của topo - khoa học không gian và thuộc tính của nó.

phương trình vi phân là gì?

Nhiều người sợ của cụm từ "phương trình vi phân". Tuy nhiên, trong bài viết này chúng tôi sẽ trình bày một cách chi tiết bản chất của công cụ này rất hữu ích toán học mà thực sự là không phức tạp như có vẻ như từ tiêu đề. Để bắt đầu nói về một phương trình vi phân bậc nhất, trước tiên bạn phải làm quen với các khái niệm cơ bản được vốn đã gắn liền với định nghĩa này. Và chúng ta sẽ bắt đầu với sự khác biệt.

vi phân

Nhiều người biết thuật ngữ này từ thời trung học. Tuy nhiên, vẫn còn bám víu vào nó một cách chi tiết. Hãy tưởng tượng đồ thị của hàm. Chúng ta có thể tăng nó đến một mức độ mà bất kỳ phân khúc của nó sẽ trở thành một đường thẳng. Nó sẽ mất hai điểm đó là vô cùng gần gũi với nhau. Sự khác biệt giữa tọa độ của họ (x hoặc y) là vô cùng nhỏ. Và nó được gọi là khác biệt và các nhân vật chỉ dy (khác biệt của y) và dx (sự khác biệt của x). Điều quan trọng là phải hiểu rằng sự khác biệt không phải là giá trị tối thượng, và đây là ý nghĩa và chức năng chính.

Và bây giờ bạn phải xem xét các yếu tố sau, chúng tôi sẽ cần phải giải thích các khái niệm phương trình vi phân. Nó - phái sinh.

phái sinh

Tất cả chúng ta phải có nghe nói ở trường và khái niệm này. Họ nói rằng đạo hàm - là tỷ lệ tăng trưởng hoặc giảm của hàm. Tuy nhiên, định nghĩa này trở nên khó hiểu hơn. Chúng ta hãy cố gắng giải thích các điều khoản phát sinh trong những khác biệt. Chúng ta hãy quay trở lại chức năng khoảng vô cùng nhỏ với hai điểm, nằm ở khoảng cách tối thiểu từ mỗi khác. Nhưng ngay cả ngoài chức năng khoảng cách này là thời gian để thay đổi một số giá trị. Và để mô tả sự thay đổi đó và đưa ra một dẫn xuất mà nếu không sẽ được viết như tỷ số giữa chênh lệch: f (x) '= df / dx.

Bây giờ nó là cần thiết để xem xét các tính chất cơ bản của đạo hàm. chỉ có ba:

1. tổng phái sinh hoặc sự khác biệt có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hoặc hiệu của đạo hàm: (a + b) = a '+ b ' và (ab)'= a'-b'.
2. Thuộc tính thứ hai được kết nối với nhân. Tác phẩm phái sinh - là tổng của các tác phẩm của một hàm để phái sinh khác: (a * b) '= a' * b + a * b'.
3. Đạo hàm của sự khác biệt có thể được viết như phương trình sau: (a / b) '= (một' * ba * b ') / b ^2.

Tất cả các tính năng này có ích cho việc tìm kiếm các giải pháp để phân phương trình của lệnh đầu tiên.

Ngoài ra, có hàm riêng. Giả sử chúng ta có một hàm của z, mà phụ thuộc vào các biến x và y. Để tính đạo hàm riêng của chức năng này, ví dụ, trong x, chúng ta cần phải thực hiện các biến y cho liên tục và dễ dàng để phân biệt.

tích phân

Một khái niệm quan trọng - không thể thiếu. Trong thực tế, nó là đối diện của phái sinh. Tích một số loại, nhưng các giải pháp đơn giản nhất của phương trình vi phân, chúng ta cần phải tầm thường nhất tích vô thời hạn.

Vì vậy, những gì là không thể thiếu? Hãy nói rằng chúng tôi có một số mối quan hệ f của x. Chúng tôi mất từ nó trở thành không thể thiếu và có được một hàm F (x) (nó thường được gọi là một nguyên thủy), mà là một hàm của hàm gốc. Do đó F (x) '= f (x). Điều này cũng ngụ ý rằng không thể thiếu của phái sinh là tương đương với chức năng ban đầu.

Trong việc giải quyết phương trình vi phân nó là rất quan trọng để hiểu được ý nghĩa và chức năng của không thể thiếu, vì rất thường xuyên phải đưa họ đến tìm giải pháp.

Các phương trình là khác nhau tùy theo tính chất của họ. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xem xét các loại phương trình để khác biệt đầu tiên, và sau đó học làm thế nào để giải quyết chúng.

Lớp học của phương trình vi phân

"Diffury" chia theo lệnh của các dẫn xuất liên quan đến họ. Như vậy có một trật tự nhất, nhì, ba hoặc nhiều hơn. Họ cũng có thể được chia thành nhiều lớp: bình thường và một phần.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ xem xét các phương trình vi phân thường của lệnh đầu tiên. Các ví dụ và các giải pháp chúng tôi thảo luận trong các phần sau. Chúng tôi chỉ xem xét TAC bởi vì nó là loại phổ biến nhất của phương trình. Thường chia thành phân loài: với các biến tách, đồng nhất và không đồng nhất. Tiếp theo, bạn sẽ tìm hiểu cách họ khác với nhau, và tìm hiểu làm thế nào để giải quyết chúng.

Bên cạnh đó, những phương trình có thể kết hợp, do đó sau khi chúng tôi có được một hệ thống các phương trình vi phân của lệnh đầu tiên. hệ thống như vậy, chúng tôi cũng xem xét và học hỏi làm thế nào để giải quyết.

Tại sao chúng tôi đang cân nhắc chỉ lệnh đầu tiên? Bởi vì nó là cần thiết để bắt đầu với một đơn giản và mô tả tất cả kết hợp với phương trình vi phân, trong một bài viết duy nhất nó là không thể.

Phương trình với các biến số tách

Đây có lẽ là đơn giản nhất phương trình để khác biệt đầu tiên. Đây là những ví dụ có thể được viết như sau: y '= f (x) * f (y). Để giải quyết phương trình này chúng ta cần công thức đại diện của đạo hàm như tỷ số giữa chênh lệch: y '= dy / dx. Với nó, chúng ta có được phương trình: dy / dx = f (x) * f (y). Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang các phương pháp giải quyết ví dụ tiêu chuẩn: tách các biến trong phần, tức là nhanh chóng chuyển tiếp tất cả các biến y ở phần nơi có dy, và cũng làm cho các biến x ... Chúng tôi có được một phương trình có dạng: dy / f (y) = f (x) dx, mà là đạt được bằng cách lấy tích phân của hai phần. Đừng quên về hằng số mà bạn muốn đặt sau khi hội nhập.

Các giải pháp của bất kỳ "diffura" - là một hàm của x bằng y (trong trường hợp của chúng tôi), hoặc nếu có một điều kiện số, câu trả lời là một số. Chúng ta hãy xem xét một ví dụ cụ thể toàn bộ quá trình ra quyết định:

y '= 2y * sin (x)

Chuyển biến theo những hướng khác nhau:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Bây giờ lấy tích phân. Tất cả trong số họ có thể được tìm thấy trong một bảng đặc biệt của tích phân. Và chúng tôi nhận được:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Nếu cần thiết, chúng ta có thể diễn tả "y" như một chức năng của "X". Bây giờ chúng ta có thể nói rằng phương trình vi phân của chúng tôi đã được giải quyết, nếu không quy định điều kiện. Có thể được xác định điều kiện, ví dụ, y (n / 2) = e. Sau đó, chúng tôi sẽ chỉ đơn giản là thay thế giá trị của các biến trong quyết định và tìm giá trị của hằng số. Trong ví dụ của chúng tôi, nó là 1.

phương trình vi phân bậc nhất đồng nhất

Bây giờ vào những phần phức tạp hơn. Đồng nhất phương trình để khác biệt đầu tiên có thể được viết dưới dạng tổng quát như: y '= z (x, y). Cần lưu ý rằng chức năng bên phải của hai biến là thống nhất, và nó không thể được chia thành hai tùy thuộc vào: z x và z của y. Kiểm tra xem phương trình là đồng nhất hay không, là khá đơn giản: chúng tôi làm cho thay x = k * x và y = k * y. Bây giờ chúng ta cắt đứt mọi k. Nếu những chữ bị bỏ rơi, sau đó phương trình đồng nhất và có thể an toàn tiến tới giải pháp của nó. Nhìn về phía trước, chúng ta nói: nguyên tắc của giải pháp của các ví dụ này cũng rất đơn giản.

Chúng tôi cần phải thực hiện việc thay thế: y = t (x) * x, trong đó t - một chức năng mà còn phụ thuộc vào x. Sau đó, chúng ta có thể bày tỏ đạo hàm: y '= t' (x) * x + t. Thay tất cả điều này vào phương trình ban đầu của chúng tôi và đơn giản hóa nó, chúng ta có ví dụ về sự tách biệt của các biến t là x. Giải quyết nó và có được sự phụ thuộc của t (x). Khi chúng tôi đã nhận nó, chỉ đơn giản là thay thế thay thế trước đó của chúng tôi y = t (x) * x. Sau đó chúng ta có được sự phụ thuộc của y trên x.

Để làm cho nó rõ ràng hơn, chúng ta sẽ hiểu một ví dụ: x * y '= yx * e y / x.

Khi kiểm tra việc thay thế tất cả giảm. Vì vậy, phương trình là thực sự đồng nhất. Bây giờ phải thay người khác, chúng tôi nói chuyện về: y = t (x) * x và y '= t' (x) * x + t (x). Sau khi đơn giản hóa phương trình sau: t '(x) * x = -e t. Chúng tôi quyết định để có được một mẫu với các biến riêng biệt và chúng tôi ^{nhận được: e -t = ln (C *} x). Chúng ta chỉ cần thay t bởi y / x (vì nếu y = t * x, sau đó t = y / x), và chúng tôi nhận được ^{câu trả lời: e -y / x = ln (} x * C).

phương trình vi phân tuyến tính của lệnh đầu tiên

Đó là thời gian để xem xét một chủ đề rộng. Chúng tôi sẽ xem xét phương trình vi phân bậc nhất không đồng nhất. Làm thế nào để chúng khác nhau từ hai trước đó? Hãy đối mặt với nó. Tuyến tính phương trình vi phân bậc nhất ở dạng tổng quát của phương trình có thể được viết như sau: y '+ g (x) * y = z (x). Cần làm rõ rằng z (x) và g (x) có thể là giá trị không đổi.

Dưới đây là một ví dụ: y '- y * x = x ^2.

Có hai cách để giải quyết, và chúng tôi đặt hàng Chúng ta hãy xét cả hai. Đầu tiên - phương pháp biến đổi các hằng số tùy ý.

Để giải quyết phương trình theo cách này, nó là cần thiết để cân bằng giữa bên tay phải đầu tiên không, và giải quyết các phương trình kết quả mà sau khi việc chuyển giao bộ phận trở thành:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Bây giờ nó là cần thiết để thay thế hằng số C ₁ vào chức năng v (x), trong đó chúng ta sẽ thấy.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Vẽ một dẫn xuất thay thế:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Và thay thế các biểu thức vào phương trình ban đầu:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Bạn có thể thấy rằng ở phía bên trái của hai thuật ngữ này được giảm. Nếu một số ví dụ mà đã không xảy ra, sau đó bạn đã làm gì đó sai. Chúng tôi tiếp tục:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Bây giờ chúng ta giải quyết các phương trình thông thường mà bạn muốn tách riêng các biến:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Để gỡ bỏ không thể thiếu, chúng ta phải áp dụng việc lồng ghép bằng các bộ phận đây. Tuy nhiên, đây không phải là chủ đề của bài viết này. Nếu bạn quan tâm, bạn có thể tự mình tìm hiểu để thực hiện hành động như vậy. Nó không phải là khó khăn, và có đủ kỹ năng và chăm sóc không phải là tốn thời gian.

Đề cập đến phương pháp thứ hai là giải pháp của các phương trình không đồng nhất: Phương pháp Bernoulli. cách tiếp cận nào là nhanh hơn và dễ dàng hơn - đó là tùy thuộc vào bạn.

Vì vậy, khi giải quyết phương pháp này, chúng ta cần phải thực hiện việc thay thế: y = k * n. Ở đây, k và n - một số chức năng phụ thuộc vào x. Sau đó, đạo hàm sẽ trông giống như: y '= k' * n + k * n'. Thay thế hai thay thế trong phương trình:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Nhóm lên:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Bây giờ nó là cần thiết để tương đương với zero, tức là trong ngoặc đơn. Bây giờ, nếu bạn kết hợp hai phương trình kết quả, chúng ta có được một hệ thống các phương trình vi phân bậc nhất để được giải quyết:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Sự bình đẳng đầu tiên quyết định như thế nào phương trình bình thường. Để làm điều này, bạn cần phải tách biệt các biến:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Chúng tôi thực sự không thể thiếu và chúng tôi có được: ln (n) = x ^2/2. Sau đó, nếu chúng ta bày tỏ n:

n = e ^{x2 / 2.}

Bây giờ thay thế phương trình kết quả vào phương trình thứ hai:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Và chuyển, chúng tôi có được phương trình tương tự như trong phương pháp đầu tiên:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Chúng tôi cũng sẽ không thảo luận về hành động tiếp theo. Người ta nói rằng ở phương trình vi phân bậc nhất đầu tiên giải pháp gây khó khăn đáng kể. Tuy nhiên, để đắm mình vào sâu hơn trong chủ đề được bắt đầu để có được tốt hơn và tốt hơn.

Đâu là phương trình vi phân?

phương trình rất tích cực khác biệt được sử dụng trong vật lý, như hầu hết các định luật cơ bản được viết bằng hình thức khác biệt, và những công thức, mà chúng ta thấy - một giải pháp cho những phương trình. Trong hóa học, chúng được sử dụng với cùng lý do: các định luật cơ bản có nguồn gốc qua chúng. Trong sinh học, các phương trình vi phân được sử dụng để mô hình hóa hành vi của hệ thống, chẳng hạn như động vật ăn thịt - con mồi. Họ cũng có thể được sử dụng để tạo ra các mô sinh sản, ví dụ, các thuộc địa của vi sinh vật.

Như phương trình vi phân giúp trong cuộc sống?

Câu trả lời cho câu hỏi này rất đơn giản: không có gì. Nếu bạn không phải là một nhà khoa học hay kỹ sư, nó không chắc rằng họ sẽ có ích. Tuy nhiên, không làm tổn thương để biết những gì các phương trình vi phân và nó được giải quyết cho sự phát triển chung. Và sau đó là câu hỏi của một người con trai hay con gái, "what a phương trình vi phân?" không đưa bạn vào một ngõ cụt. Vâng, nếu bạn là một nhà khoa học hay kỹ sư, sau đó bạn biết tầm quan trọng của chủ đề này trong bất kỳ khoa học. Nhưng quan trọng nhất, mà bây giờ cho câu hỏi "làm thế nào để giải quyết phương trình vi phân của lệnh đầu tiên?" bạn sẽ luôn luôn có thể đưa ra một câu trả lời. Đồng ý, nó luôn luôn là tốt đẹp khi bạn nhận ra rằng những gì mọi người thậm chí còn sợ để tìm hiểu.

Những vấn đề chính trong nghiên cứu này

Vấn đề chính trong sự hiểu biết về chủ đề này là một thói quen xấu là chức năng tích hợp và sự khác biệt. Nếu bạn không thoải mái CHẤP NHẬN phái sinh và tích phân, nó có lẽ là giá trị hơn để tìm hiểu, học hỏi phương pháp khác nhau của hội nhập và sự khác biệt, và chỉ sau đó tiến hành các nghiên cứu về vật liệu đã được mô tả trong bài viết.

Một số người ngạc nhiên khi biết dx mà có thể được chuyển giao, như trước đây (trong trường) lập luận rằng phần dy / dx là bất khả phân. Sau đó, bạn cần phải đọc các tài liệu về đạo hàm và hiểu rằng đó là thái độ của một lượng vô cùng nhỏ, có thể được thao tác trong việc giải quyết các phương trình.

Nhiều người không ngay lập tức nhận ra rằng các giải pháp của phương trình vi phân của lệnh đầu tiên - điều này thường là một chức năng hoặc neberuschiysya không thể thiếu, và ảo tưởng này mang lại cho họ rất nhiều rắc rối.

Những gì người khác có thể được nghiên cứu để hiểu rõ hơn?

Tốt nhất là để bắt đầu ngâm sâu hơn vào thế giới của phân tích sách giáo khoa chuyên ngành, ví dụ, trong phân tích toán học cho sinh viên chuyên ngành phi toán học. Sau đó bạn có thể di chuyển đến các tài liệu chuyên biệt hơn.

Người ta nói rằng, ngoài sự khác biệt, vẫn còn phương trình tích phân, vì vậy bạn sẽ luôn luôn có một cái gì đó để phấn đấu và những gì để nghiên cứu.

phần kết luận

Chúng tôi hy vọng rằng sau khi đọc bài viết này bạn sẽ có một ý tưởng về những gì các phương trình vi phân và làm thế nào để giải quyết chúng một cách chính xác.

Trong mọi trường hợp, toán học trong bất kỳ cách nào hữu ích đối với chúng ta trong cuộc sống. Nó phát triển logic và sự chú ý, mà không có mọi người, như không có tay.