Số dẫn xuất: phương pháp tính toán và các ví dụ

Có lẽ khái niệm phái sinh là quen thuộc với tất cả chúng ta từ thời trung học. Thông thường sinh viên gặp khó khăn trong việc hiểu điều này chắc chắn là một điều rất quan trọng. Nó được chủ động sử dụng trong các lĩnh vực khác nhau của đời sống nhân dân, và nhiều kỹ thuật được dựa trên một cách chính xác các phép tính toán học thu được bằng đạo hàm. Nhưng trước khi tiến hành một phân tích về một dẫn xuất của số là những gì khi họ tính toán và nơi họ sẽ có ích, đi sâu một chút vào lịch sử.

câu chuyện

Khái niệm về đạo hàm, đó là nền tảng của phân tích toán học, đã được mở (thậm chí tốt hơn để nói "phát minh" vì nó là, như vậy, không tồn tại trong tự nhiên) Isaakom Nyutonom, người chúng ta đều biết sự khám phá ra định luật hấp dẫn. Đó là ông là người đầu tiên sử dụng khái niệm này trong vật lý cho bản chất ràng buộc của tốc độ và khả năng tăng tốc của các cơ quan. Và nhiều nhà khoa học vẫn ca ngợi Newton cho phát minh tuyệt vời này, bởi vì trong thực tế, ông đã phát minh ra cơ sở phân và tích phân, các cơ sở thực tế của toàn bộ lĩnh vực toán học gọi là "phân tích toán học". Cho dù tại thời điểm giải Nobel, Newton có khả năng sẽ nhận được nó một vài lần.

Không phải không có bộ óc vĩ đại khác. Ngoài Newton về sự phát triển của hoạt động thiên tài nổi tiếng như đạo hàm và không thể thiếu trong toán học như Leonhard Euler, Lagrange và Louis Gotfrid Leybnits. Đó là nhờ chúng ta có lý thuyết về tính toán khác biệt trong hình thức, trong đó nó tồn tại cho đến ngày nay. Ngẫu nhiên, đây là Leibniz đã khám phá ra ý nghĩa hình học của đạo hàm, đó là không có gì hơn độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm.

một dẫn xuất của số là gì? Bit lặp lại những gì đã diễn ra trong nhà trường.

một phái sinh là gì?

Xác định khái niệm này theo những cách khác nhau. Lời giải thích đơn giản nhất: phái sinh - đó là tốc độ chức năng thay đổi. Đại diện cho đồ thị của bất kỳ hàm y của x. Nếu nó không phải là thẳng, nó có một số đường cong trong đồ thị, các giai đoạn tăng và giảm. Nếu bạn có bất kỳ khoảng thời gian vô cùng nhỏ của lịch trình, nó sẽ là một đoạn thẳng thẳng. Vì vậy, tỷ lệ kích thước của một phân khúc vô cùng nhỏ của y với kích thước của tọa độ x, và sẽ là một hàm của hàm tại một điểm nhất định. Nếu chúng ta xem xét các chức năng như một toàn thể, chứ không phải tại một điểm cụ thể, chúng tôi có được một hàm của đạo hàm, tức là một sự phụ thuộc nhất định trên X y.

Bên cạnh đó, ngoài ý nghĩa vật lý của đạo hàm là một hàm của tốc độ thay đổi, đó cũng là một cảm giác hình học. Trên đó, bây giờ chúng ta thảo luận.

Ý nghĩa hình học

Các dẫn xuất số mình đang có một số lượng nhất định đó không phải là một sự hiểu biết đúng đắn không mang bất kỳ ý nghĩa. Nó chỉ ra rằng đạo hàm không chỉ cho thấy tốc độ tăng trưởng hoặc giảm chức năng, và độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm tại điểm đó. định nghĩa không hoàn toàn rõ ràng. Chúng ta hãy xem xét nó một cách chi tiết. Giả sử chúng ta có một đồ thị của hàm số (để lấy đường cong lãi). Nó có một số giới hạn các điểm, nhưng có những nơi chỉ có một điểm duy nhất có tối đa hoặc tối thiểu. Qua bất kỳ điểm nào đó, bạn có thể vẽ một đường thẳng, đó sẽ là vuông góc với đồ thị của hàm tại điểm đó. Dòng này sẽ được gọi là tiếp tuyến. Giả sử chúng ta giữ nó lên đến ngã tư với OX trục. Vì vậy, thu được giữa tiếp tuyến và OX trục và góc sẽ được quyết định bởi đạo hàm. Cụ thể hơn, về tang của góc này sẽ bằng với nó.

Hãy nói một chút về trường hợp đặc biệt và các dẫn xuất Chúng ta hãy xem xét những con số.

trường hợp đặc biệt

Như chúng ta đã đề cập, các dẫn xuất của số - một giá trị đạo hàm tại một điểm cụ thể. Ở đây, ví dụ, mất chức năng y = x ^2. Đạo hàm của x - con số, nhưng nói chung - một chức năng tương đương với 2 * x. Nếu chúng ta cần phải tính toán đạo hàm, ví dụ, tại điểm x ₀ = 1, chúng tôi nhận y '(1) = 2 * 1 = 2. Nó rất đơn giản. Một trường hợp thú vị là đạo hàm của số phức. Để đi vào giải thích chi tiết về những gì một số phức tạp, chúng tôi sẽ không. Nó đủ để nói rằng con số này, trong đó có các đơn vị tưởng tượng cái gọi là - số có hình vuông bằng -1. Việc tính toán đạo hàm này chỉ có thể theo các điều kiện sau đây:

1) Phải có lệnh đầu tiên hàm riêng trong những phần thực và phần ảo của y và X.

2) các điều kiện của Cauchy-Riemann liên quan đến bình đẳng một phần mô tả trong đoạn đầu tiên.

Một trường hợp thú vị, mặc dù không phải phức tạp như trước đó, là một dẫn xuất của một số âm. Trong thực tế, bất kỳ số âm có thể được biểu diễn dưới dạng một tích cực, nhân với -1. Vâng, đạo hàm và chức năng liên tục bằng một hằng số nhân với đạo hàm của hàm.

Sẽ rất thú vị để tìm hiểu về vai trò của các dẫn xuất trong cuộc sống hàng ngày của họ, và điều này là bây giờ và thảo luận về nó.

ứng dụng

Có lẽ mỗi người trong chúng ta ít nhất một lần trong đời bắt mình suy nghĩ rằng toán học là khó có thể có ích cho anh ta. Và một điều phức tạp như đạo hàm lẽ không có người sử dụng. Trong thực tế, toán học - khoa học cơ bản, và tất cả các loại trái cây của nó phát triển chủ yếu là vật lý, hóa học, thiên văn học và thậm chí cả nền kinh tế. Phái sinh đánh dấu sự bắt đầu của phân tích toán học, mà đã cho chúng tôi cơ hội để rút ra kết luận từ các đồ thị của các chức năng, và chúng tôi đã học để giải thích các quy luật tự nhiên và biến chúng để lợi thế của họ vì điều đó.

phần kết luận

Tất nhiên, không phải ai cũng có thể có ích cho đạo hàm trong cuộc sống thực. Nhưng toán học phát triển logic mà chắc chắn sẽ cần. Không cho gì bởi vì toán học được gọi là nữ hoàng của khoa học: nó bao gồm một sự hiểu biết cơ bản về các lĩnh vực khác của kiến thức.