Một hệ phương trình đại số tuyến tính. hệ thống đồng nhất của phương trình đại số tuyến tính

Ở trường, mỗi người chúng ta nghiên cứu các phương trình và, chắc chắn, hệ phương trình. Nhưng không nhiều người biết rằng có một số cách để giải quyết chúng. Hôm nay chúng ta sẽ thấy chính xác tất cả các phương pháp để giải quyết một hệ phương trình đại số tuyến tính, có cấu tạo từ hơn hai phương trình.

câu chuyện

Hôm nay chúng ta biết rằng nghệ thuật giải phương trình và hệ thống của họ có nguồn gốc ở Babylon cổ đại và Ai Cập. Tuy nhiên, bình đẳng theo hình thức quen thuộc của họ xuất hiện cho chúng tôi sau khi xảy ra dấu bằng "=", được giới thiệu vào năm 1556 bởi nhà toán học kỷ lục bằng tiếng Anh. Bằng cách này, biểu tượng này được chọn vì một lý do: nó có nghĩa là hai đoạn bằng song song. Trên thực tế, ví dụ tốt nhất về sự bình đẳng không đi lên.

Người sáng lập của chữ hiện đại và các biểu tượng không rõ mức độ, các nhà toán học Pháp Fransua Việt. Tuy nhiên, chỉ định của nó là khác nhau đáng kể từ hôm nay. Ví dụ, một hình vuông của một số không rõ ông được chỉ định bởi chữ Q (lat "quadratus".), Và khối lập phương - (. Lat "CUBUS") chữ C. Những biểu tượng này bây giờ có vẻ khó chịu, nhưng sau đó nó là cách trực quan nhất để viết một hệ phương trình đại số tuyến tính.

Tuy nhiên, một bất lợi trong các phương pháp hiện hành của giải pháp là các nhà toán học đã xem xét chỉ rễ tích cực. Có lẽ điều này là do thực tế là giá trị âm không có bất kỳ ứng dụng thực tế. Một cách này hay cách khác, nhưng là người đầu tiên được coi là rễ tiêu cực bắt đầu sau khi toán học người Ý Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano và Raphael Bombelli trong thế kỷ 16. Một cái nhìn hiện đại, phương pháp chính của việc giải quyết các phương trình bậc hai (thông qua biệt thức) được thành lập duy nhất trong thế kỷ 17 thông qua các tác phẩm của Descartes và Newton.

Ở giữa nhà toán học Thụy Sĩ thế kỷ 18 Gabriel Cramer tìm ra một cách mới để làm cho các giải pháp của hệ phương trình tuyến tính dễ dàng hơn. Phương pháp này sau đó được mang tên ông, và cho đến ngày nay chúng ta sử dụng nó. Nhưng trên phương pháp nói chuyện Kramer của một chút sau đó, nhưng bây giờ chúng tôi sẽ thảo luận phương trình tuyến tính và giải pháp của họ tách biệt khỏi hệ thống.

phương trình tuyến tính

phương trình tuyến tính - phương trình đơn giản nhất với biến (s). Họ thuộc về đại số. phương trình tuyến tính được viết dưới dạng tổng quát như sau: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... và _n * x _n = b. Nộp mẫu đơn này chúng tôi sẽ cần trong việc chuẩn bị của các hệ thống và ma trận trên.

Một hệ phương trình đại số tuyến tính

Định nghĩa của thuật ngữ này là: một tập hợp các phương trình có ẩn số chung và các giải pháp chung. Thông thường, ở trường tất cả được giải quyết một hệ thống với hai hoặc thậm chí ba phương trình. Nhưng cũng có những hệ thống với bốn hoặc nhiều thành phần. Hãy xem đầu tiên làm thế nào để viết chúng ra để sau này nó là thuận tiện để giải quyết. Thứ nhất, hệ phương trình đại số tuyến tính sẽ dễ nhìn hơn nếu tất cả các biến được viết như x với chỉ số tương ứng: 1,2,3 và vân vân. Thứ hai, nó sẽ dẫn tất cả các phương trình để hình thức kinh điển: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... và _n * x _n = b.

Sau khi tất cả các bước này, chúng ta có thể bắt đầu để cho bạn biết làm thế nào để tìm ra giải pháp của hệ phương trình tuyến tính. Rất nhiều vì điều đó sẽ đến trong ma trận tiện dụng.

ma trận

Matrix - một bảng gồm các hàng và cột, và các yếu tố của nó đang ở ngã tư của họ. Đây có thể là một giá trị hoặc biến cụ thể. Trong hầu hết các trường hợp, để chỉ định các yếu tố đó được bố trí bên dưới các chỉ số (ví dụ: ₁₁ hoặc ₂₃ cũng). Chỉ số đầu tiên cho biết số hàng, và lần thứ hai - cột. ma trận trên như trên và bất kỳ yếu tố toán học khác có thể thực hiện các hoạt động khác nhau. Vì vậy, bạn có thể:

1) Trừ và thêm cùng kích thước của bảng.

2) Nhân ma trận để bất kỳ số lượng hoặc vector.

3) Transpose: chuyển đổi dòng ma trận trong các cột và các cột - phù hợp.

4) Nhân ma trận, nếu số lượng hàng tương đương với một trong số họ một số khác nhau của cột.

Để thảo luận chi tiết tất cả những kỹ thuật này, vì chúng rất hữu ích đối với chúng ta trong tương lai. Trừ và bổ sung các ma trận là rất đơn giản. Kể từ khi chúng ta lấy ma trận cùng kích thước, mỗi phần tử của một bảng là có liên quan đến mọi yếu tố khác. Do đó chúng ta thêm (trừ) hai trong số các yếu tố (điều quan trọng là họ đang đứng trên cùng một khu đất trong ma trận của họ). Khi nhân với số ma trận hoặc vector bạn chỉ cần nhân lên mỗi phần tử của ma trận bằng con số (hoặc vector). Chuyển vị - một quá trình rất thú vị. Rất thú vị khi nhìn thấy anh ấy trong cuộc sống thực, ví dụ, khi thay đổi hướng của một viên thuốc hoặc điện thoại. Các biểu tượng trên màn hình nền là một ma trận, và với một sự thay đổi vị trí, nó được hoán và trở nên rộng hơn, nhưng giảm chiều cao.

Chúng ta hãy xem xét một quá trình như phép nhân ma trận. Mặc dù ông nói với chúng tôi, và không phải là hữu ích, nhưng lưu ý nó vẫn còn hữu ích. Multiply hai ma trận có thể chỉ dưới điều kiện là số cột trong một bảng là bằng với số hàng khác. Bây giờ lấy yếu tố một dòng ma trận và các yếu tố khác của cột tương ứng. Nhân chúng với nhau sum khác và sau đó (ví dụ, ví dụ, một sản phẩm của các nguyên tố ₁₁ và ₁₂ và ₁₂ b và ₂₂ b sẽ bằng: a * b _{11 12} + ₁₂ * b và _22). Do đó, một mục bảng duy nhất, và một phương pháp tương tự như nó được làm đầy thêm.

Bây giờ chúng ta có thể bắt đầu xem xét làm thế nào để giải quyết hệ phương trình tuyến tính.

cốt

Chủ đề này đã bắt đầu diễn ra ở trường. Chúng tôi biết rất rõ các khái niệm về "hệ thống của hai phương trình tuyến tính" và biết làm thế nào để giải quyết chúng. Nhưng nếu số phương trình là lớn hơn hai? Điều này sẽ giúp chúng tôi phương pháp Gauss.

Tất nhiên, phương pháp này là thuận tiện để sử dụng, nếu bạn thực hiện một ma trận của hệ thống. Nhưng bạn không thể chuyển đổi nó và quyết định riêng của mình.

Vì vậy, làm thế nào để giải quyết nó bằng một hệ phương trình tuyến tính Gauss? Bằng cách này, mặc dù phương pháp này và mang tên ông, nhưng phát hiện ra nó trong thời cổ đại. Gauss có một hoạt động thực hiện với các phương trình, để cuối cùng dẫn đến việc toàn bộ mẫu bậc thang. Nghĩa là, bạn cần phải từ trên xuống (nếu đặt một cách chính xác) từ người đầu tiên phương trình cuối cùng suy yếu một rõ. Nói cách khác, chúng ta cần phải đảm bảo rằng chúng tôi đã có, nói, ba phương trình: đầu tiên - ba ẩn số, trong lần thứ hai - hai ở một phần ba - một. Sau đó, từ phương trình cuối cùng, chúng ta thấy rõ đầu tiên, thay thế giá trị của nó trong lần thứ hai hoặc phương trình đầu tiên, và tiếp tục tìm ra hai biến còn lại.

quy tắc Cramer

Đối với sự phát triển của kỹ thuật này là rất quan trọng để làm chủ các kỹ năng cộng, trừ các ma trận, cũng như sự cần thiết để có thể tìm thấy yếu tố quyết định. Do đó, nếu bạn không thoải mái khi làm điều này tất cả hoặc không biết làm thế nào, nó là cần thiết để học hỏi và được đào tạo.

bản chất của phương pháp này là gì, và làm thế nào để làm như vậy, để có được một hệ phương trình tuyến tính Cramer? Nó rất đơn giản. Chúng ta cần phải xây dựng một ma trận các số (hầu như luôn luôn) các hệ số của một hệ phương trình đại số tuyến tính. Để làm điều này, bạn chỉ cần lấy số cái không biết, và chúng tôi sắp xếp một bảng theo thứ tự mà chúng được ghi lại trong hệ thống. Nếu trước số là một dấu "-", sau đó chúng ta viết hệ số tiêu cực. Vì vậy, chúng tôi đưa ra ma trận đầu tiên của hệ số của ẩn số, không bao gồm số sau dấu bằng (tất nhiên, rằng phương trình này phải được giảm xuống còn dưới dạng chính tắc khi bên phải là chỉ là một số, và bên trái - tất cả các ẩn số với các hệ số). Sau đó, bạn cần phải thực hiện một vài ma trận - một cho mỗi biến. Với mục đích này, trong ma trận đầu tiên được thay thế bằng một cột mỗi cột số với các hệ số sau dấu bằng. Như vậy chúng ta có được một vài ma trận và sau đó tìm yếu tố quyết định của họ.

Sau khi chúng tôi tìm thấy các vòng loại, nó nhỏ. Chúng tôi có một ma trận ban đầu, và có một số ma trận có nguồn gốc, tương ứng với các biến số khác nhau. Để có được một giải pháp hệ thống, chúng tôi chia yếu tố quyết định của bảng kết quả trên yếu tố quyết định chính của bảng. Số kết quả là giá trị của một biến. Tương tự như vậy, chúng ta thấy tất cả các ẩn số.

các phương pháp khác

Có nhiều phương pháp để có được các giải pháp của hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ, một cái gọi là phương pháp Gauss-Jordan, được sử dụng cho việc tìm kiếm các giải pháp của hệ phương trình bậc hai, và cũng liên quan đến việc sử dụng ma trận. Ngoài ra còn có một phương pháp Jacobi để giải quyết một hệ phương trình đại số tuyến tính. Ông dễ dàng thích nghi với tất cả các máy tính và được sử dụng trong tính toán.

trường hợp phức tạp

Phức tạp thường xảy ra nếu số phương trình ít hơn số lượng các biến. Sau đó, chúng tôi chắc chắn có thể nói rằng, hoặc hệ thống không phù hợp (ví dụ, không có rễ), hoặc số quyết định của mình có xu hướng đến vô cùng. Nếu chúng ta có trường hợp thứ hai - đó là cần thiết để ghi các giải pháp chung của hệ phương trình tuyến tính. Nó sẽ bao gồm ít nhất một biến.

phần kết luận

Ở đây chúng ta đi đến cùng. Để tóm tắt: chúng ta phải hiểu những gì các ma trận hệ thống, học cách tìm ra giải pháp chung của một hệ phương trình tuyến tính. Bên cạnh đó chúng tôi xem xét các lựa chọn khác. Chúng tôi đã tìm ra cách để giải quyết hệ phương trình tuyến tính: khử Gauss và quy tắc Cramer. Chúng tôi nói về trường hợp khó khăn và những cách khác của việc tìm kiếm giải pháp.

Trong thực tế, vấn đề này là nhiều hơn nữa rộng lớn, và nếu bạn muốn hiểu rõ hơn về nó, chúng tôi khuyên bạn nên đọc thêm các tài liệu chuyên ngành.