Các gốc rễ của một phương trình bậc hai: ý nghĩa đại số và hình học

Trong đại số vuông được gọi là phương trình bậc hai. Bởi phương trình hàm ý một biểu thức toán học, trong đó có trong thành phần của nó một hoặc chưa được biết nhiều hơn nữa. phương trình bậc hai - một phương trình toán học có ít nhất một chưa biết trong độ vuông. Phương trình bậc hai - thứ hai-thứ tự phương trình thể hiện bản sắc để có nghĩa là bằng không. Giải quyết các vuông phương trình là như nhau mà xác định căn bậc hai của phương trình. phương trình bậc hai điển hình ở dạng tổng quát:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

trong đó W, T - các hệ số của rễ của phương trình bậc hai;

O - hệ số tự do;

c - gốc rễ của bậc hai phương trình (luôn luôn có hai giá trị c1 và c2).

Như đã đề cập, vấn đề giải quyết một phương trình bậc hai - tìm gốc rễ của một phương trình bậc hai. Để tìm thấy chúng, bạn cần phải tìm một biệt thức:

N = T ^ 2-4 * W * O

Các công thức biệt thức cần thiết cho việc tìm kiếm các giải pháp c1 gốc và c2:

c1 = (-T + √N) / 2 * W và c2 = (-T - √N) / 2 * W

Nếu phương trình bậc hai của yếu tố hình thức chung ở thư mục gốc của T có giá trị nhiều, phương trình được thay thế bằng:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

Và rễ của nó trông giống như biểu thức:

c1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W và c2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

Thường thì phương trình có thể có một ngoại hình hơi khác nhau khi C_2 có thể không có hệ số W. Trong trường hợp này, phương trình trên có dạng:

c ^ 2 + F * c + L = 0

nơi F - yếu tố ở gốc;

L - yếu tố tự do;

c - gốc rễ của hình vuông (luôn luôn có hai giá trị c1 và c2).

Đây là loại phương trình được gọi là phương trình bậc hai cho trước. Cái tên "giảm" đi từ công thức đẩy đủ đặc trưng phương trình bậc hai, nếu hệ số gốc W có giá trị là một. Trong trường hợp này, các rễ của phương trình bậc hai:

c1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] và c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

Trong trường hợp của các giá trị chẵn các hệ số của các gốc rễ F sẽ có một giải pháp:

c1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F - √ (F ^ 2-L)

Nếu chúng ta nói về phương trình bậc hai, nó là cần thiết để thu hồi các định lý của Vieta. Nó nói rằng các luật sau đây cho phương trình bậc hai giảm:

c ^ 2 + F * c + L = 0

c1 + c2 = -F và c1 * c2 = L

Trong phương trình bậc hai chung rễ phương trình bậc hai là phụ thuộc có liên quan:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

c1 + c2 = -T / W và c1 * c2 = O / W

Bây giờ xem xét các tùy chọn của phương trình bậc hai và giải pháp của họ. Tất cả trong số họ có thể là hai, như thể một thành viên của c_2 là mất tích, sau đó phương trình sẽ không được vuông. do đó:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 của hiện thân phương trình bậc hai mà không cần yếu tố miễn phí (thành viên).

Giải pháp là:

W * c ^ 2 = -T * c

c1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 của hiện thân phương trình bậc hai mà không có nhiệm kỳ thứ hai, khi cùng modulo rễ của phương trình bậc hai.

Giải pháp là:

W * c ^ 2 = -O

c1 = √ (-O / W), c2 = - √ (-O / W)

Tất cả điều này là đại số. Xem xét các ý nghĩa hình học trong đó có một phương trình bậc hai. phương trình bậc hai trong Hình vẽ mô tả bởi một hàm parabol. khá thường xuyên nhiệm vụ là tìm gốc rễ của một phương trình bậc hai cho học sinh trung học? Những rễ cung cấp cho các khái niệm về làm thế nào để giao với chức năng đồ thị (parabol) với tọa độ trục - ngang. Nếu, sau khi quyết định phương trình bậc hai, chúng tôi nhận được quyết định hợp lý của rễ, sau đó ngã tư sẽ không. Nếu gốc có một giá trị vật chất, chức năng đi qua trục x ở một nơi. Nếu hai rễ, sau đó, tương ứng, - hai điểm giao nhau.

Điều đáng chú ý là dưới rễ vô lý bao hàm một giá trị âm dưới gốc, tại phát hiện root. giá trị vật chất - bất kỳ giá trị tích cực hay tiêu cực. Trong trường hợp của việc tìm kiếm chỉ có một gốc có nghĩa là gốc rễ của giống nhau. Định hướng của đường cong trong một hệ thống Cartesian phối hợp cũng có thể được xác định trước bởi các hệ số của rễ W và T. Nếu W có giá trị tích cực, hai chi nhánh của parabol được hướng lên trên. Nếu W có một giá trị âm, - xuống. Ngoài ra, nếu hệ số B có dấu hiệu tích cực, trong đó W cũng là tích cực, đỉnh của hàm parabol nằm trong "y" từ "-" đến vô cùng "+" vô cực, "c" trong khoảng từ trừ vô cực không. Nếu T - giá trị tích cực, và W - là tiêu cực, ở phía bên kia của trục hoành.