Sự hình thànhKhoa học

Maclaurin và phân hủy của một số chức năng

Nghiên cứu toán học tiên tiến nên biết rằng tổng của một chuỗi lũy thừa trong khoảng thời gian hội tụ của một số người trong chúng ta, là một con số liên tục và không giới hạn số lần một chức năng khác biệt. Câu hỏi đặt ra: là nó có thể tranh luận rằng đưa ra một tùy hàm f (x) - là tổng của một chuỗi lũy thừa? Đó là, trong điều kiện nào các e-tions f (x) có thể được biểu diễn bởi một chuỗi lũy thừa? Tầm quan trọng của vấn đề này là nó có thể thay thế khoảng £ thần học f (x) là tổng của vài thuật ngữ đầu tiên của một chuỗi lũy thừa, đó là một đa thức. một chức năng thay thế như vậy là khá đơn giản biểu - đa thức - là thuận tiện và trong việc giải quyết những vấn đề nhất định trong phân tích toán học, cụ thể là trong việc giải quyết tích phân khi tính toán phương trình vi phân , vv ...

Nó được chứng minh, rằng đối với một số e-ii f (x), trong đó đạo hàm của (n + 1) để -thứ có thể được tính toán, bao gồm cả mới nhất trong vùng lân cận của (α - R; x 0 + R) của một điểm x = α công thức hợp lý là:

Công thức này được đặt tên theo nhà khoa học nổi tiếng Brooke Taylor. Một số trong số đó có nguồn gốc từ trước đó, được gọi là một loạt Maclaurin:

Một nguyên tắc mà làm cho nó có thể để sản xuất mở rộng trong một loạt Maclaurin:

  1. Xác định các dẫn xuất của đầu tiên, thứ hai, thứ ba, ... trật tự.
  2. Tính là gì phái sinh tại x = 0.
  3. Ghi Maclaurin loạt cho chức năng này, và sau đó để xác định khoảng thời gian hội tụ.
  4. Xác định khoảng thời gian (-R; R), nơi mà phần còn lại của công thức Maclaurin

R n (x) -> 0 với n -> vô cùng. Nếu có, nó hàm f (x) phải bằng tổng các loạt Maclaurin.

Cân nhắc nay là loạt Maclaurin cho các chức năng riêng biệt.

1. Do đó, người đầu tiên được f (x) = e x. Tất nhiên, đó là đặc điểm của họ rất e-Ia đã xuất phát nhiều đơn đặt hàng, và f (k) (x) = e x, trong đó k là bình đẳng cho tất cả các số tự nhiên. Thay x = 0. Chúng tôi có được f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1,2 ... Căn cứ vào quy định trên, một số e x Nó sẽ là như sau:

2. Maclaurin loạt cho hàm f (x) = sin x. Ngay lập tức xác định rằng f-tions cho tất cả các dẫn xuất chưa biết sẽ có, bên cạnh đó f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + n * k / 2), với k là tương đương với bất kỳ số nguyên dương. Đó là, làm các phép tính đơn giản, chúng ta có thể kết luận rằng loạt cho f (x) = sin x sẽ là như thế này:

3. Bây giờ chúng ta hãy xem xét iju f-f (x) = cos x. Đó là chưa biết cho tất cả các dẫn xuất của trật tự tùy ý, và | f (k) (x) | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Một lần nữa, nó đã thực hiện một số tính toán, chúng tôi thấy rằng series cho f (x) = cos x sẽ trông như thế này:

Vì vậy, chúng tôi đã liệt kê những tính năng quan trọng nhất mà có thể được mở rộng trong một loạt Maclaurin, nhưng họ bổ sung cho chuỗi Taylor đối với một số chức năng. Bây giờ chúng tôi sẽ liệt kê chúng là tốt. Cũng cần phải lưu ý rằng chuỗi Taylor và Maclaurin series là một phần quan trọng của loạt hội thảo các quyết định trong toán học cao hơn. Vì vậy, Taylor loạt.

1. Đầu tiên là một loạt các e-ii f (x) = ln (1 + x). Như trong ví dụ trước, vì chúng ta e này (x) = ln (1 + x) có thể được gấp lại một con số, bằng cách sử dụng hình thức chung của Maclaurin series. nhưng đối với tính năng này Maclaurin có thể thu được dễ dàng hơn nhiều. Lồng ghép một chuỗi hình học, chúng tôi có được một số cho f (x) = ln (1 + x) của mẫu:

2. Và thứ hai, đó sẽ là trận chung kết trong bài viết này, sẽ là một loạt cho f (x) = arctg x. Đối với x thuộc khoảng [-1; 1] là phân hủy hợp lệ:

Đó là tất cả. Trong bài viết này, tôi đã khảo sát các loạt Taylor sử dụng nhiều nhất và Maclaurin loạt trong toán học cao hơn, đặc biệt là ở các trường cao đẳng kinh tế kỹ thuật.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 vi.birmiss.com. Theme powered by WordPress.