Cấp số nhân. VÍ DỤ để quyết định

Hãy xem xét một hàng.

7 28 112 448 1792 ...

cho thấy khá rõ rằng giá trị của bất kỳ phần tử của nó hơn so với trước đó một cách chính xác bốn lần. Vì vậy, loạt bài này là một tiến triển.

thuộc về kỷ hà học gọi là dãy vô hạn các số, các tính năng chính trong đó là các số sau đây được lấy từ trên bằng cách nhân một số con số nhất định. Này được thể hiện theo công thức sau đây.

_{z 1 = a z · q} , nơi z - số thành phần được chọn.

Theo đó, z ∈ N.

Một thời gian khi nhà trường đang nghiên cứu hình học tiến triển - lớp 9. Các ví dụ sẽ giúp hiểu được những khái niệm:

0,25 0,125 0,0625 ...

Tháng 2 18 6 ...

Dựa trên công thức này, sự tiến triển của các mẫu có thể được tìm thấy như sau:

Cả q, hoặc b _z không thể bằng không. Ngoài ra, mỗi người trong số các yếu tố của một dãy số tiến triển không nên zero.

Theo đó, để xem số tiếp theo của một số, nhân sau này bởi q.

Để xác định được xu hướng này, bạn phải xác định các yếu tố đầu tiên của nó và mẫu số. Sau đó người ta có thể tìm thấy bất kỳ của các thành viên sau đây và số tiền của họ.

loài

Tùy thuộc vào q và một _1, tiến trình này được chia thành nhiều loại:

• Nếu _{1 và} q là lớn hơn một, sau đó là một chuỗi - tăng với mỗi phần tử liên tiếp của một cấp số nhân. Các ví dụ của chúng bị chi tiết dưới đây.

Ví dụ: ₁ = 3, q = 2 - lớn hơn đoàn kết, cả hai tham số.

Sau đó, một chuỗi các con số có thể được viết như sau:

3 6 12 24 48 ...

• Nếu | q | ít hơn một, nghĩa là, nó tương đương với phép nhân bằng cách chia, sự tiến triển với điều kiện tương tự - giảm cấp số nhân. Các ví dụ của chúng bị chi tiết dưới đây.

Ví dụ: ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ là lớn hơn một, q - ít hơn.

Sau đó, một chuỗi các con số có thể được viết như sau:

02 Tháng Sáu 2/3 ... - bất kỳ yếu tố hơn yếu tố sau nó, là 3 lần.

• Xen kẽ. Nếu q <0, dấu hiệu của những con số của xen kẽ chuỗi liên tục bất kể _1, và các yếu tố của bất kỳ tăng hoặc giảm.

Ví dụ: ₁ = -3, q = -2 - đều nhỏ hơn không.

Sau đó, một chuỗi các con số có thể được viết như sau:

3, 6, -12, 24 tuổi, ...

công thức

Để sử dụng thuận tiện, có nhiều cấp số nhân của các công thức:

• Formula z thứ hạn. Nó cho phép tính toán của phần tử trong một số cụ thể mà không cần tính toán những con số trước đó.

Ví dụ: q = 3, a = ₁ 4. yêu cầu phải tính toán một sự tiến triển yếu tố thứ tư.

Giải pháp: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Tổng số các yếu tố đầu tiên, có số bằng z. Nó cho phép tính tổng của tất cả các yếu tố trong một chuỗi để một bao gồm _z.

≠ 0, do đó, q không phải là 1 - (q 1) Từ (1- q) là ở mẫu số, sau đó.

Lưu ý: nếu q = 1, sau đó tiến trình sẽ có đại diện một số không ngừng lặp đi lặp lại các số.

Số tiền theo cấp số nhân ví dụ: ₁ = 2, q = -2. Tính S _5.

Giải pháp: S ₅ = 22 - công thức tính toán.

• Số tiền nếu | q | <1 và khi z có xu hướng đến vô cùng.

Ví dụ: ₁ = _2, q = 0,5. Tìm tổng.

Giải pháp: S _z = 2 x = 4

Nếu chúng ta tính tổng của một số thành viên của thủ công, bạn sẽ thấy rằng nó thực sự là cam kết bốn.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0.125 + 0.0625 = 3,9375 4

Một số khách sạn:

• Một tài sản đặc trưng. Nếu điều kiện sau đây Nó giữ cho bất kỳ z, sau đó đưa ra một loạt số - một tiến trình hình học:

_z ² = A _{z -1} · Một _{z + 1}

• Đây cũng là hình vuông của bất kỳ số là theo cấp số nhân bằng phương pháp bổ sung các bình phương của hai số khác trong bất kỳ hàng nhất định, nếu họ là cách đều từ nguyên tố này.

² _z = _{z - t} ² _{+ z} + _t ² trong đó t - khoảng cách giữa những con số này.

• Các yếu tố khác tùy theo từng thời điểm q.
• Các logarit của các yếu tố của sự tiến triển cũng tạo thành một tiến triển, nhưng số học, có nghĩa là, mỗi người trong số họ nhiều hơn so với trước đó bởi một số lượng nhất định.

Ví dụ về một số vấn đề cổ điển

Để hiểu rõ hơn những gì một cấp số nhân, với các ví dụ quyết định cho học sinh lớp 9 có thể giúp đỡ.

• Điều khoản và điều kiện: ₁ = 3, ₃ = 48. Tìm q.

Giải pháp: mỗi phần tử liên tiếp trong hơn q trước thời gian. Nó là cần thiết để diễn tả một số yếu tố khác thông qua thông qua mẫu số.

Do đó, một ₃ = q ² · ₁

Khi thay q = 4

• Điều kiện: a ₂ = 6, a = ₃ 12. Tính S _6.

Giải pháp: Để làm điều này, nó cũng đủ để tìm q, yếu tố đầu tiên và thay vào công thức.

₃ = q · _2, do đó, q = 2

₂ = q · Một _1, vì vậy a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · Một ₁ = 10, q = -2. Tìm các yếu tố thứ tư của sự tiến triển.

Giải pháp: nó là đủ để thể hiện các yếu tố thứ tư thông qua việc đầu tiên và thông qua mẫu số.

₄ ³ = q · a = ₁ -80

ví dụ ứng dụng:

• Ngân hàng khách hàng đã đóng góp số tiền 10.000 rúp, theo đó mỗi năm khách hàng để số tiền gốc sẽ được thêm 6% của nó mặc dù. Bao nhiêu tiền trong tài khoản sau 4 năm?

Giải pháp: Số tiền ban đầu tương đương với 10 nghìn rúp. Vì vậy, một năm sau khi đầu tư vào các tài khoản sẽ là số tiền tương đương với 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Theo đó, số tiền trong tài khoản thậm chí sau một năm sẽ được diễn tả như sau:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Đó là, mỗi năm số tiền tăng lên 1,06 lần. Do đó, để tìm số tài khoản sau 4 năm, nó cũng đủ để tìm một sự tiến triển thứ tư yếu tố, được đưa ra phần tử đầu tiên bằng 10 ngàn, và mẫu số bằng 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12.625

Ví dụ về các vấn đề trong việc tính toán tổng của:

Trong vấn đề khác nhau sử dụng cấp số nhân. Một ví dụ về việc tìm kiếm tổng thể được thiết lập như sau:

₁ = 4, q = 2, tính toán S _5.

Giải pháp: tất cả các dữ liệu cần thiết để tính được biết đến, chỉ đơn giản là thay thế chúng vào công thức.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18. Tính tổng của sáu yếu tố đầu tiên.

giải pháp:

Các Geom. sự tiến bộ của mỗi phần tử của lớn tiếp theo so với lần q trước, có nghĩa là, để tính toán số tiền bạn cần phải biết các yếu tố ₁ và q mẫu số.

₂ · q = a ₃

q = 3

Tương tự như vậy, sự cần thiết phải tìm _{1, 2} và hiểu biết q.

₁ · q = a ₂

₁ = 2

Và sau đó nó cũng đủ để thay thế các dữ liệu được gọi vào số lượng công thức.

S ₆ = 728.